Helfgott acaba de demostrar la conjetura débil de Goldbach, un problema de teoría de números que había permanecido irresuelto por 271 años.
El matemático peruano acaba de hacer historia al hacer pública su demostración de un enunciado de importancia central en teoría de números: la conjetura débil de Goldbach. Este resultado (del que seguramente oiremos más en el futuro) viene a coronar una trayectoria académica de ensueño. A sus 35 años, Helfgott ya se ha hecho acreedor, entre otras distinciones, del Premio Leverhulme, otorgado por la Fundación Leverhulme, del Premio Whitehead, otorgado por la Sociedad Matemática de Londres, y del Premio Adams, otorgado por la Facultad de matemáticas de Cambridge y el St. John’s College. Vive actualmente en París y se desempeña como investigador en el CNRS (Centro Nacional para la Investigación Científica).
Inmediatamente luego de que la noticia rebotara en las redes (luego de haber sido mencionada por el matemático australiano Terence Tao en su cuenta de Google+), lo contactamos y accedió a concedernos por e-mail la siguiente entrevista:
Alonso Almenara: La conjetura débil de Goldbach afirma que:
Todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos.
Tenemos expresada en una línea de texto una verdad que no había podido ser demostrada por más de 270 años, y que ha sido descrita por GH Hardy en su famoso discurso de 1921 como uno de los problemas irresueltos más difíciles de las matemáticas.
Curiosamente, el enunciado es entendible por un escolar; su demostración, sin embargo, ocupa 133 páginas. ¿Podría intentar describir para una audiencia de no especialistas algunas de las razones por las que esta demostración ha eludido a los matemáticos por tanto tiempo?
Harald Helfgott: Primero – se logró progresar muy poco antes del siglo XX. El primer gran paso fue tomado por Hardy y Littlewood, en 1923; fueron ellos quienes comenzaron a usar el análisis de Fourier (“método del círculo”) en la teoría de números. En general, la teoría analítica de números – la rama que estudia, entre otras cosas, cuántos números primos hay hasta un número dado, cómo están distribuidos, etc. – comenzó a florecer recién a fines del siglo XIX.
Los trabajos de Hardy y Littlewood, en 1923, y de Vinogradov, en 1937, fueron trabajos pioneros, hechos en una época en que varios conceptos que resultaron ser relacionados a ellos – por ejemplo, la así llamada “gran criba” – aun no habían sido desarrollados o comprendidos completamente. Curiosamente, la importancia de “suavizar” funciones antes de usar el análisis de Fourier era algo comprendido por los analistas, como Hardy-Littlewood, o por los matemáticos aplicados y físicos, o, probablemente, por los técnicos de su estación de radio, pero no se volvió un lugar común entre la gente de teoría de números hasta hace una generación, a lo más.
También se ha requerido bastante tiempo de cálculo, dado el enfoque que seguí, aunque los requisitos de tiempo de máquina, si bien considerables, no fueron enormes. Hace 30 años, había computadoras de suficiente potencia, pero el tiempo de maquina era mucho más costoso, y conseguir acceso a él hubiera sido una larga labor de política académica. En consecuencia, los matemáticos seguían rutas un poco distintas al intentar probar el teorema.
Por lo demás, no es inusual que un problema matemático quede irresuelto por siglos. Ya los griegos se planteaban preguntas que fueron resueltas solo en el siglo XIX.
AA: Su trabajo es el paso final en una serie de avances recientes en la carrera hacia la demostración del teorema débil de Goldbach. Entre los matemáticos contemporáneos que se han interesado en ese tema podemos mencionar al medallista Fields Terence Tao, a quien algunos han catalogado como el matemático más brillante en la actualidad. Tao es quien más cerca ha estado hasta ahora de lograr lo que usted ha logrado, y tengo entendido que él ha estado en contacto con usted y ha ratificado su trabajo. ¿Me podría decir algunas palabras sobre ese contacto entre colegas con un matemático tan admirado que valora y entiende la magnitud de su investigación?
HH: Yo diría que Tao me tiene confianza en esto, y no que lo haya ratificado completamente – ¡todavía tiene que leerlo! Conoce los métodos que he utilizado, hemos compartido ideas en el pasado, hemos hablado del problema… También escribimos un artículo junto con una tercera persona sobre otro tema hace unos años. En estos últimos tiempos, empero, he hablado más del problema con otra gente – por ejemplo, [Olivier] Ramaré, quien logró el resultado inmediatamente anterior al de Tao en 1995.
La mayor parte de los medallistas Fields que conozco son gente sencilla. ¡Los difíciles son los que quisieran volverse medallistas Fields! Claro, a veces los hábitos quedan… Pero es lo mismo en cualquier área.
AA: La aproximación que usted ha usado para lograr estos resultados aún no nos encamina necesariamente hacia una demostración final del teorema fuerte de Goldbach, que estipula que Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. ¿Podría decirnos algunas palabras al respecto? ¿Tiene planes de atacar este problema?
HH: Me parece que el teorema fuerte de Goldbach es mucho más difícil. Se necesitará un cambio completo de enfoque. No sé si será resuelto en nuestras vidas.
AA: Aunque usted acaba de dar a conocer sus resultados hace muy poco, imagino que ya ha habido algunas reacciones de sorpresa o de escepticismo en la comunidad matemática internacional. ¿Cómo describiría los comentarios que ha recibido?
HH: En verdad la reacción ha sido muy positiva. Varios especialistas sabían que yo trabajaba sobre el problema. Mi trabajo, en general, es conocido en el área, y al parecer se me tiene confianza.
AA: ¿Cómo se inició en las matemáticas? ¿De dónde proviene esa pasión?
HH: De la manera aburrida: de la casa. Mi padre escribió libros de análisis y geometría cuyos borradores leí; mi madre es estadística. Crecí entre libros, y se me alentó en mis intereses. Cuando tenía 12 o 13 años, comencé a ir a grupos de jóvenes que se reunían en San Marcos y la Católica para entrenarse para las competencias (“olimpiadas de matemática”) a nivel latinoamericano. Pronto se nos hizo claro que la competencia no era lo más importante – lo importante era aprender juntos, pedir consejos a estudiantes con más experiencia, y conocer a jóvenes de otros países con los mismos intereses.
AA: Usted ha desarrollado una carrera espectacular en los Estados Unidos y Europa; ha ganado importantes premios y su trabajo ya era conocido en este ámbito en círculos académicos. Sin embargo, estos nuevos resultados van a darle muy pronto un nivel de visibilidad distinto. ¿Cómo se siente ahora y cuáles son sus proyectos a futuro?
HH: Creo que se trata de una buena oportunidad para hacer un poco de divulgación matemática. Ya desde hace tiempo ayudo a organizar cursillos y escuelas de verano dentro y fuera de Sudamérica – probablemente ser visible fuera del ámbito matemático facilite conseguir apoyo.
AA: Este logro que acaba de hacer público va a inspirar a muchas personas. Entre ellas, a escolares y jóvenes matemáticos peruanos. ¿Qué recomendaciones les daría a estas personas que a lo mejor sueñan con embarcarse en una aventura como la suya y dedicar su vida a la investigación en este campo tan competitivo?
HH: Lo mejor es comenzar pronto, de preferencia desde la secundaria, y no limitarse a lo que enseñan en la escuela. Es muy estimulante conseguirse libros con problemas – uno de los primeros textos serios que leí fue precisamente el librito de Vinogradov, de teoría de números. Es igualmente importante ponerse en contacto con otros estudiantes – si uno aprende solo, puede pasar mucho tiempo en cuestiones de poca importancia; se aprende más rápido discutiendo.
AA: Aunque es difícil prever en qué contextos se terminará aplicando un aporte como éste, sé que ha habido avances en la teoría de números que han resultado bastante fructíferos en el campo de la seguridad de la información. Cada vez que alguien manda un e-mail o hace una transacción por internet está poniendo a trabajar resultados obtenidos por alguno de sus colegas. ¿Piensa que sus investigaciones podrían tener un impacto similar?
HH: Dudo que esto tenga aplicación alguna a la criptografía. Más bien, para llegar al resultado final, tuve que mejorar muchas técnicas de varias áreas, algunas de ellas aplicadas. Por ejemplo, necesitaba cotas explicitas para lo que se conoce como funciones parabólicas cilíndricas; estas habían sido utilizadas por mucho tiempo por físicos e ingenieros, pero, si bien había una buena serie de trabajos de alrededor de 1960, no tenían lo que necesitaba, así que tuve que derivar cotas explicitas yo mismo. Estas serán de interés para los especialistas de las ramas aplicadas, quienes ahora, sin duda, retomaran esa parte de mi trabajo y la mejoraran a su vez. Doy un ejemplo menor pero espero que sea bastante típico.
AA: Cuando lo contacté para hacerle esta entrevista, usted me comentó que cada vez que pasa por Lima se vuelve un asiduo oyente de Radio Filarmonía. Me gustaría preguntarle dos cosas respecto a eso: por un lado, cuáles son los compositores o los géneros musicales que más le interesan, y por otro si cree que de algún modo su pasión por las matemáticas tiene una relación con el placer que siente al escuchar música. ¿Hasta qué punto piensa que estos campos están relacionados?
HH: Creo que mi primer contacto con la música de fines del siglo XIX y comienzos del XX fue a través de radio Filarmonía, cuando todavía era radio Sol Armonía. El gusto me ha quedado; ahora mismo estaba escuchando la tercera sinfonía de Roussel.
Hay probablemente más melómanos entre los matemáticos que en la población en general, o que entre la gente de Letras. Cuando estaba en la escuela de posgrado, a veces había un concierto de fin de año solo de la facultad de matemática, en la cual había muchos buenos intérpretes aficionados. No sé si es un signo de una afinidad profunda o simplemente una tendencia cultural que se ha propagado a través de la comunidad matemática internacional. Probablemente haya un poco de los dos.
En lo que se refiere al otro lado – muchos músicos saben poco de matemática, y la utilidad de la matemática para la composición ha sido limitada: puede decirse que hay un tanto de matemática en Bach o Schoenberg, pero de un tipo muy elemental. Hay algunas ideas explícitamente matemáticas en cierta música de la segunda mitad del siglo XX, pero no creo que haya convencido mucho ni a las audiencias ni a los matemáticos.
Es probable que los lazos más fuertes no sean entre la matemática y la composición o la interpretación, sino entre la matemática y la teoría musical, el diseño de instrumentos, las técnicas de grabación… La teoría musical comenzó como parte de la matemática, con Pitágoras y sus discípulos. Hablé del análisis de Fourier, que no es sino el análisis de frecuencias, y del método del círculo, que es el análisis de frecuencias racionales – eso está cerquísima de la música. El timbre de un instrumento está dado por la intensidad de sus armónicos, aparte del efecto del ruido. Cuando uno toca “la”, no suena solo éste “la”, a 440 hertzios, sino también, en menor medida, “la” a 880 hertzios, “mi” a 660 hertzios (660 = 440 multiplicado por 3/2), “fa sostenido” a aproximadamente 735 hertzios (o casi 440 multiplicado por 5/3),… En otras palabras, se trata de la frecuencia principal multiplicada por racionales de pequeño numerador y denominador. Y, por cierto, sus oyentes también están aplicando el análisis de Fourier de otra manera: al sintonizar su frecuencia, están tomando la intensidad del campo electromagnético alrededor de su antena y aislando el componente de frecuencias en la vecindad inmediata de 102.7FM, para así poder escuchar solo lo que Vds. transmiten.
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